Tính chất sơ cấp Bộ ba số Pythagoras

Trong một bộ ba Pythagoras nguyên thủy, ký hiệu:

Hai cạnh góc vuông: m 2 − n 2 {\displaystyle m^{2}-n^{2}} và 2 m n {\displaystyle 2mn} là 2 cạnh góc vuông a,b; trong đó 2 m n {\displaystyle 2mn} là cạnh góc vuông chẵn. c = m 2 + n 2 {\displaystyle c=m^{2}+n^{2}} là cạnh huyền.

Mối liên hệ khác giữa ba số trong bộ ba Pytagoras,

a + b = c + 2 ( c − a ) ( c − b ) 2 {\displaystyle a+b=c+2{\sqrt {\frac {(c-a)(c-b)}{2}}}}

(c − a)(c − b)/2 là số chính phương. Điều này rất có ích khi kiểm tra xem một bộ ba số có phải là bộ ba Pythagoras hay không, tuy vậy đây chỉ là điều kiện cần, chưa đủ. Ví dụ, bộ ba {6, 12, 8} thỏa mãn (c − a)(c − b)/2 là số chính phương, nhưng lại không phải là bộ ba Pythagoras. Điều kiện (nếu a là cạnh góc vuông chẵn) " (c − a) và (c − b)/2 đồng thời là số chính phương" chính là điều kiện cần và đủ để (a,b,c) lập thành bộ ba Pythagoras; bộ ba Pythagoras này có thể không nguyên thủy.
Nếu hai số bất kì trong bộ ba Pythagoras nguyên tố cùng nhau thì đó là bộ ba Pythagoras nguyên thủy.
Trong 3 số a, b, c có nhiều nhất một số chính phương.
Tồn tại vô số bộ ba Pythagoras nguyên thủy có cạnh huyền là số chính phương.
Tồn tại vô số bộ ba Pythagoras nguyên thủy có một cạnh góc vuông là số chính phương
Tổng của cạnh huyền và cạnh góc vuông chẵn của một bộ ba Pythagoras nguyên thủy là một số chính phương lẻ; và trung bình cộng của cạnh huyền và cạnh góc vuông lẻ là một số chính phương

( m 2 + n 2 ) + ( 2 m n ) = ( m + n ) 2 {\displaystyle (m^{2}+n^{2})+(2mn)=(m+n)^{2}} ( m 2 + n 2 ) + ( m 2 − n 2 ) 2 = m 2 {\displaystyle {\frac {(m^{2}+n^{2})+(m^{2}-n^{2})}{2}}=m^{2}} .

Diện tích (A = ab/2) là số đồng dư (tiếng Anh: congruent number) chẵn.
Trong hai số a, b có đúng một số lẻ; và c là số lẻ.
Trong hai số a, b có đúng một số chia hết cho 3.
Trong hai số a, b có đúng một số chia hết cho 4.
Trong ba số a, b, c có đúng một số chia hết cho 5.
Trong bốn số a, b, (a + b), (b − a) có đúng một số chia hết cho 7.
Trong bốn số (a + c), (b + c), (c − a), (c − b) có đúng một số chia hết cho 8.
Trong bốn số (a + c), (b + c), (c − a), (c − b) có đúng một số chia hết cho 9.
Trong sáu số a, b, (2a + b), (2a − b), (2b + a), (2b − a) có đúng một số chia hết cho 11.
Tất cả các ước nguyên tố của c đều là số nguyên tố có dạng 4k + 1.

Chứng minh

Giả sử c = m 2 + n 2 {\displaystyle c=m^{2}+n^{2}} có ước nguyên tố p có dạng 4k+3, suy ra:

m 2 {\displaystyle m^{2}} đồng dư với − n 2 {\displaystyle -n^{2}} mod p.Suy ra m 2 ( 2 k + 1 ) {\displaystyle m^{2(2k+1)}} đồng dư với − n 2 ( 2 k + 1 ) {\displaystyle -n^{2(2k+1)}} mod p.Suy ra m p − 1 {\displaystyle m^{p-1}} đồng dư với − n p − 1 {\displaystyle -n^{p-1}} mod p.

Do m,n nguyên tố cùng nhau, do đó chúng đều không chia hết cho p.Suy ra, theo định lý Fermat nhỏ m p − 1 {\displaystyle m^{p-1}} đồng dư với 1 mod p, và − n p − 1 {\displaystyle -n^{p-1}} đồng dư với -1 mod p.Suy ra 1+1 chia hết cho p, vô lý vì p có dạng 4k+3.

Mặt khác c lẻ do đó p lẻ. Tóm lại p chỉ có dạng 4k+1.

Tất cả các số tự nhiên "lớn hơn 2 và không phải số có dạng 4k + 2" luôn thuộc một bộ ba Pitago nguyên thủy nào đó.
Tất cả các số tự nhiên lớn hơn 2 đều thuộc một bộ Pythagoras nào đó (nguyên thủy hoặc không), ví dụ các số 6,10,14 và 18 không thuộc một bộ ba Pythagoras nguyên thủy nào, nhưng lại thuộc một bộ ba Pythagoras không nguyên thủy 6, 8, 10; 14, 48, 50 và 18, 80, 82.
Tồn tại vô số các bộ ba nguyên Pythagoras nguyên thủy mà hiệu giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông lớn bằng 1 ("cạnh góc vuông lớn" là cạnh có độ dài lớn hơn trong hai cạnh góc vuông). Tổng quát: Với số nguyên j lẻ bất kì, tồn tại vô số bộ ba Pythagoras nguyên thủy mà hiệu giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông chẵn bằng j 2.
Tồn tại vô số các bộ ba nguyên Pythagoras nguyên thủy mà hiệu giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông lớn bằng 2 ("cạnh góc vuông lớn" là cạnh có độ dài lớn hơn trong hai cạnh góc vuông). Tổng quát: Với số nguyên k > 0 bất kì, tồn tại vô số bộ ba Pythagoras nguyên thủy mà hiệu giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông lẻ bằng 2k 2.
Nếu j và k là các số nguyên dương lẻ, không nhất thiết phân biệt, thì đúng một bộ ba Pythagoras nguyên thủy sao cho a + j 2 = c = b + 2 k . {\displaystyle a+j^{2}=c=b+2^{k}.}
Cạnh huyền của tất cả các bộ ba nguyên thủy đều có hiệu với cạnh góc vuông chẵn là một số chính phương, và có hiệu với cạnh góc vuông lẻ bằng hai lần một số chính phương:

( m 2 + n 2 ) − ( 2 m n ) = ( m − n ) 2 {\displaystyle (m^{2}+n^{2})-(2mn)=(m-n)^{2}} ( m 2 + n 2 ) − ( m 2 − n 2 ) 2 = 2 n 2 {\displaystyle {\frac {(m^{2}+n^{2})-(m^{2}-n^{2})}{2}}=2n^{2}} .

Không có một bộ ba Pythagoras nguyên thủy nào mà hiệu giữa cạnh huyền và một cạnh góc vuông bằng một số nguyên tố lẻ.
Với mỗi số tự nhiên n, tồn tại n bộ ba Pythagoras có cùng diện tích, nhưng khác nhau ở độ dài cạnh huyền.
Với mỗi số tự nhiên n, có ít nhất n bộ ba Pythagoras khác nhau có cùng cạnh góc vuông a, với a là một số tự nhiên nào đó.
Với mỗi số tự nhiên n, có ít nhất n bộ ba Pythagoras khác nhau có cùng cạnh huyền.
Trong mỗi bộ ba Pythagoras, bán kính đường tròn nội tiếp và "3 bán kính của ba đường tròn bàng tiếp" là số tự nhiên. Bán kính đường tròn nội tiếp bằng r = n ( m − n ) {\displaystyle r=n(m-n)} .
Không có bộ ba Pythagoras nào mà cạnh huyền và 1 cạnh góc vuông lại là các cạnh góc vuông của bộ bộ ba Pythagoras nguyên thủy khác.